Tabla de Derivadas

Derivada de una Función

Uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial. 

La derivada de una función en un punto x₀ surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x₀, y fue  «Fermat»  el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos. 

En ellos las tangentes son paralelas al eje, y  el ángulo que forman es cero grados. Pero, «Fermat» buscaba puntos para que sean horizontales.

Derivada de una Función Constante

Función constante f(x) = C. 
 

Su gráfica es una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada es, constantemente, igual a  C,   a  es un punto cualquiera del campo de f(x),  f(a + h) - f(a) = C - C = 0.

Luego la derivada de una constante es siempre cero. 

Derivada de la Función Lineal mx + b

Sea una función lineal cualquiera f(x) = mx + b. 

Para un punto cualquiera x, lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.

Derivada de una Constante por una Función k · f(x)

 Si k es una constante y f(x) una función, se demuestra que (k · f(x))' = k · f'(x).

 Así, para derivar una expresión de la forma k · f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.

Derivadas de las Funciones Trigonométricas sen x y cos x

La derivada de la función f(x) = sen x es f '(x) = cos x   

La derivada de la función g(x) = cos x es g '(x) = - sen x

Derivada de la Función Logaritmo Neperiano ln |x|

Puesto que el logaritmo está definido sólo para valores positivos y distintos de cero, es necesario considerar el logaritmo del valor absoluto de x. 

Para calcular la derivada de esta función se han de considerar dos casos, x > 0 y x < 0: 

a) Si x es positivo, aun tomando h negativo, x + h es positivo si se toman valores de h suficientemente pequeños, lo cual es posible pues se va a calcular el límite cuando h tiende a cero.

b) Si x es negativo, aun tomando h positivo y suficientemente pequeño, x + h sigue siendo negativo
     y |x + h| = - (x + h) y |x| = - x